László Kunkli wurde 1997 im ungarischen Debrecen geboren und begann im Alter von acht Jahren Trompete zu spielen. Seine Ausbildung erhielt er am Leo-Weiner-Musikgymnasium in Budapest bei András Kis. Nach zahlreichen Wettbewerbserfolgen, darunter ein Sonderpreis beim Internationalen Blechbläserwettbewerb in Brünn, ein 1. Preis beim Internationalen Hochschulwettbewerb in Ungarn sowie ein 2. Preis und Sonderpreis beim Festival „Concertino Prag“, begann er 2015 sein Studium bei Wolfgang Bauer an der Staatlichen Hochschule für Musik und Darstellende Kunst Stuttgart, das er 2021 mit Auszeichnung abschloss. Von 2023 bis 2025 absolvierte er sein Masterstudium an der Universität der Künste Berlin bei Gábor Tarkövi.
Als Solist konzertierte er unter anderem mit dem Tschechischen Rundfunkorchester, der Prague Philharmonia, der Budapester Streichern, dem Philharmonischen Kammerorchester Wernigerode sowie den Košicer Philharmonikern. Als Orchestermusiker wirkte er bereits im Sinfonieorchester des Hessischen Rundfunks, im Deutschen Symphonie-Orchester Berlin, im Gürzenich-Orchester Köln, im Stuttgarter Staatsorchester, am Staatstheater Mainz sowie bei den Dortmunder Philharmonikern mit.
Von 2017 bis 2021 war er Stipendiat der Studienstiftung des deutschen Volkes. Erste professionelle Orchestererfahrungen sammelte er in der Spielzeit 2017/2018 als Praktikant beim SWR Symphonieorchester. In der Spielzeit 2019/2020 hatte er einen Zeitvertrag als Solotrompeter bei den Duisburger Philharmonikern/Deutsche Oper am Rhein. Von 2021 bis 2024 war er Solotrompeter bei den Essener Philharmonikern; seit April 2024 ist er stellvertretender Solotrompeter beim SWR Symphonieorchester.